Kelebek Etkisi ve Kaos Teorisi

Hayatımızda aldığımız kararlar ve yaptığımız seçimler, geleceğimizi belirler. Bunu en iyi "kelebek etkisi teorisi" açıklamaktadır. 1972 yılında Edward Lorenz tarafından öne sürülen teoriye göre; "Afrika'da kanat çırpan bir kelebek, Amerika'da fırtına yaratır".

Her şey, birbirine etki eder zincirleme olarak ve hayatı var eden bu döngüdür. İnsan hayatının ne kadar hassas dengeler üzerine kurulu olduğunu; minik bir kartopunun nasıl bir çığa dönüşebileceğini, hayatımızda önemsiz görünen her şeyin aslında hayatımızın akışını etkilediğini anlatır.

Aslında hayatın içindeki mükemmel sisteme en yakın örnek insandır. İnsanoğlunun geçmişi her ne kadar milyonlarca yıl öncesine dayansa da, bilim her geçen gün "insan" hakkında yeni bilgilere ulaşmaktadır. Beynimizin ne kadar sistematik ve mükemmel olduğunu anlamaktayız. Belki de tüm yaradılışın arkasındaki gizem, beynimizde saklı, onu keşfetmemizi bekliyor.^[1]

Kelebek Etkisi, bir sistemin başlangıç verilerindeki ufak değişikliklerin, büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabilmesine verilen isimdir. İsmi, Edward N. Lorenz'in hava durumuyla verdiği örnekten geliyor: Amazon Ormanları'nda bir kelebeğin kanat çırpması, Avrupa'da fırtına kopmasına sebep olabilir.^[2]

"Kelebek Etkisi"ni 1963 yılında Edward N. Lorenz bilgisayarıyla hava durumuyla ilgili hesaplar yaparken buldu. İlk hesaplamasında 0,506127 sayısını başlangıç verisi olarak kullandı. İkinci hesaplamada ise 0,506 sayısını verdi. İki sayı arasında sadece yaklaşık 1/1000 (binde bir), yani bir kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarla eşdeğerde fark olmasına rağmen, süreç içinde ikinci hesap birinci hesaba karşın çok farklı neticeler verdi.

Not: Lorenz'in 1963'te yayınlanan orijinal araştırması bir martının kanadını çırpmasının, hava durumunu sonsuza dek değiştireceğinden bahsetmektedir. Daha sonra verdiği konferanslarda Lorenz martıyı daha romantik olan kelebek ile değiştirdi. Ayrıca binde birlik fark ile kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarın arasında bilimsel bir ilişkinin olduğundan bahsettiğini zannetmiyorum, bu sebeple eşdeğer kelimesi yukarıdaki paragrafta doğru kullanılmamıştır. Aşağıdaki resim, Lorenz differensiyal dengelerinin AB-3 metodu kullanılarak simule edildikten sonra x ve z eksenlerinin birbirine karşı çizilmesi ile elde edilmiştir. Bu sonuç bir çok kişi tarafından bir kelebeğe benzetilmektedir.^[3]

Bu yasa evrenin işleyiş prensibinin en temel çekirdek noktalarından biridir çünkü aksi takdirde tek bir bireyin gelişimi, tek bir ulusun gelişimi tek bir gezegenin gelişimi söz konusu olurdu ama evren öyle bir şekilde tasarlanmış ki programı sadece gelişmek ve geliştirmek üzerine kurulu!…

Halkalar ve zincirler birbirlerine öyle bağlıdırlar, olaylar-oluşumlar birbirine öyle bağlıdırlar ki, sizin gelişiminiz bir diğerinin gelişimini tetiklemekte veya ona bir fayda sağlamakta ve bu böyle tıpkı suya atılan bir taş gibi halka halka ilerlemektedir. Halkalar giderek, açılarak büyümekte ve karşı kıyıya kadar varmaktadır.

Varoluş yasalarının en temel prensiplerinden biri olan gelişmek ve geliştirmek, tekamül etmek ve tekamül ettirmek evrensel işlevini her yerde korur. Evrende yaratılmış olduğunu gördüğünüz canlı cansız ama bir enerji taşımakta olan her türlü şey için bunu söyleyebiliriz. Gelişmek ve geliştirmek onun ana fonksiyonudur.

İnsanoğlunun bugüne kadar sorduğu sorularda hatta çoğu zaman benim vazifem nedir ve benzeri gibi çok sorduğu sorularının yanıtında ilk madde olarak: birinci vazifeniz gelişmek yani bireysel gelişiminizi yapmak ve geliştirmek yani diğerlerinin de gelişimine katkıda bulunmak demek mümkündür.

İnsan bu birincil vazifeyi tam olarak ne kadar yeterli bir performansla ve başarıyla tamamlarsa hem kendisinin gelecek yaşamları için, hem de şu an ki yaşamı için yeni kapıların, yeni olanakların açılmasına fırsat sağlamış olur.

Elindeki iş ne olursa olsun onu tam hakkını vererek yerine getirme potansiyeli, gerek karmik düzenler, gerek yeni yapılandırılacak yaşam biçimleri açısından faydalıdır. Sizin yaptığınız en önemli görevlerden bir tanesi bu gelişmek ve geliştirmek kapsamında aslında maddeyi geliştirmektir. Maddeyi geliştirmek yine yaşamsal fonksiyonlarınızdan biridir ve bu gezegendeki herkesi kapsar.^[4]

Kelebek Etkisi ve Kaos Teorisi

Kelebek Etkisi, bir sistemin başlangıç verilerindeki ufak değişikliklerin, büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabilmesine verilen isimdir. İsmi, Edward N. Lorenz'in hava durumuyla verdiği örnekten geliyor:

"Amazon Ormanları'nda bir kelebeğin kanat çırpması, Avrupa'da fırtına kopmasına sebep olabilir."

Kaos Teorisi, sayısal bilgisayarların ve onların çıktılarını çok kolay görülebilir hale getiren ekranların ortaya çıkmasıyla gelişti ve son on yıl içinde popülerlik kazandı. Ancak kaotik davranış gösteren sistemlerde kestirim yapmanın imkansızlığı bu popüler görüntüyle birleşince, bilim adamları konuya oldukça kuşkucu bir gözle bakmaya başladılar. Fakat son yıllarda kaos teorisinin ve onun bir uzantısı olan fraktal geometrinin, borsadan meteorolojiye, iletişimden tıbba, kimyadan mekaniğe kadar uzanan çok farklı dallarda önemli kullanım alanları bulması ile bu kuşkular giderek yok olmaktadır.

Teoriye temel oluşturan matematiksel ve temel bilimsel bulgular, 18.yüzyıla, hatta bazı gözlemler antik çağlara kadar geri gidiyor. Yunan ve Çin mitolojilerinde yaradılış efsanelerinde başlangıçta bir kaosun olması rastlantı değil. Özellikle Çin mitolojisindeki kaosun, bugün bilimsel dilde tanımladığımız olgularla hayret verici bir benzerliği olduğunu görüyoruz. Batı'da da daha sonraki dönemlerde bilim adamları tarafından karmaşık olgulara dair gözlemler yapılmıştır.Poincare,Weierstra ss, von Koch, Cantor,Peano,Hausdorff, Besikoviç gibi çok üst düzey matematikçiler tarafından bu teorinin temel kavramları oluşturulmuştur.

Karmaşık sistem teorisinin ardında yatan yaklaşımı felsefe, özellikle de bilim felsefesi açısından inceleyecek olursak, ortaya ilginç bir olgu çıkıyor. Aslında bugün pozitif bilim olarak nitelendirdiğimiz şey, batı uygarlığının ve düşünüş biçiminin bir ürünüdür. Bu yaklaşımın en belirgin özelliği, analitik oluşu yani parçadan tüme yönelmesi (Tümevarım).

Genelde karmaşık problemleri çözmede kullanılan ve bazen çok iyi sonuçlar veren bu yöntem gereğince, önce problem parçalanıyor ve ortaya çıkan daha basit alt problemler inceleniyor. Sonra, bu alt problemlerin çözümleri birleştirilerek, tüm problemin çözümü oluşturuluyor. Ancak bu yaklaşım görmezden gelerek ihmal ettiği parçalar arasındaki ilişkilerdir. Böyle bir sistem parçalandığında, bu ilişkiler yok oluyor ve parçaların tek tek çözümlerinin toplamı, asıl sistemin davranışını vermekten çok uzak olabiliyor.

Tümevarım yaklaşımının tam tersi ise tümdengelim, yani bütüne bakarak daha alt olgular hakkında çıkarsamalar yapmak. Genel anlamda tümevarımı Batı düşüncesinin, tümdengelimi Doğu düşüncesinin ürünü olarak nitelendirmek mümkündür. Kaos ya da karmaşıklık teorisi ise, bu anlamda bir Doğu-Batı sentezi olarak görülebilir. Çok yakın zamana kadar pozitif bilimlerin ilgilendiği alanlar doğrusallığın geçerli olduğu, daha doğrusu çok büyük hatalara yol açmadan varsayılabildiği alanlardır. Doğrusal bir sistemin girdisini x, çıktısını da y kabul edersek, x ile y arasında doğrusal sistemlere özgü şu ilişkiler olacaktır:

Bu özellikleri sağlayan sistemlere verilen karmaşık bir girdiyi parçalara ayırıp her birine karşılık gelen çıktıyı bulabilir, sonra bu çıktıların hepsini toplayarak karmaşık girdinin yanıtını elde edebiliriz. Ayrıca, doğrusal bir sistemin girdisini ölçerken yapacağımız ufak bir hata, çıktının hesabında da başlangıçtaki ölçüm hatasına orantılı bir hata verecektir. Halbuki doğrusal olmayan bir sistemde Y'yi kestirmeye çalıştığımızda ortaya çıkacak hata, X'in ölçümündeki ufak hata ile orantılı olmayacak, çok daha ciddi sapma ve yanılmalara yol açacaktır. İşte bu özelliklerinden dolayı doğrusal olmayan sistemler kaotik davranma potansiyelini içlerinde taşırlar.

Kaos görüşünün getirdiği en önemli değişikliklerden biri ise, kestirilemez determinizmdir. Sistemin yapısını ne kadar iyi modellersek modelleyelim, bir hata bile (Heisenberg belirsizlik kuralı'na göre çok ufak da olsa, mutlaka bir hata olacaktır), yapacağımız kestirmede tamamen yanlış sonuçlara yol açacaktır. Buna başlangıç koşullarına duyarlılık adı verilir ve bu özellikten dolayı sistem tamamen nedensel olarak çalıştığı halde uzun vadeli doğru bir kestirim mümkün olmaz. Bugünkü değerlerini ne kadar yi ölçersek ölçelim, 30 gün sonra saat 12'de hava sıcaklığının ne olacağını kestiremeyiz. Bu görüş paralelinde ortaya konan en ünlü örnek ise yukarıda verilen Kelebek Etkisi denen modellemedir.

Kaos teoremi, bir sigara dumanının havada yaptığı şekiller tamamen düzensiz ve bağımsız rastlantıların ürünü olarak görülebilir. Ancak bir teorik fizikçi dumanın bu dinamiğinin aslında ortamdaki birçok parametre ve etken ile belirlendiği görüşündedir. Bu girdiler o kadar çoktur ve o kadar değişkendir ki incelemek ve net bir kanıya varmak imkansızdır. Parametrelerin bu denli değişken olması aslında o parametrelerin de bir çıktı olmasından kaynaklanır.

Dumanın hareketine neden olan hafifi bir hava akımı aslında odanın başka yerindeki bir sıcaklık değişikliği ve basınç farkının neden olduğu bir harekettir. Ayrıca dumanın dinamiğini etkileyen girdiler birbirlerine bağlı olabilirler ki bu durumu tam anlamıyla içinden çıkılmaz hale sokar. Sigara dumanı örneğine geri dönersek, hava akımının yalnızca sıcaklık değişiminden kaynaklandığını farz edelim (ki pratikte bu milyonlarca etkenden biridir). Sıcaklık değişimi ortamda basınç farkı yarattığından hava akımını etkiler. Ancak oluşan hava akımı sıcaklıkta tekrar değişimlere neden olacağından farklı girdilerle tekrar bir fonksiyon oluşturur ve bu değişim sonsuza kadar devam eder. Birçok farklı girdinin sürekli değişerek fiziksel değişimler yaratması ve bu değişimlerin farklı düzenler yaratması yine kendisini etkilemesi insan zekasının ve günümüzdeki gözlem ve bilimsel tahmin yeteneklerinin çok çok üstünde olmasından dolayı kaos olarak nitelendirilir. Oysa tüm bu değişimlere neden olan fiziksel yasalara ve matematiksel açıklamalara hakimiz. İşte bu noktada karşımıza düzen ve anarşinin aslında birbirine ne kadar sıkı sıkıya sarılmış olduğu ortaya çıkar. Fiziksel yasalar ne kadar basit olursa olsun sonuç o kadar rastlantısal ve karmaşa doludur.^[5]

Kriptografide Kelebek Etkisi

Kriptografik özet fonksiyonları, girdinin boyutundan bağımsız olarak sabit değerli özetler üretecek şekilde hazırlanırlar ve veri bütünlüğünün garanti edilmesinde kullanılırlar. Dolayısıyla verinin bir bitinin bile değişmesi sonuç değerin yarısından fazlasının değişmesine neden olmalıdır. Bu etkiye Kriptografide "avalanche effect" ya da "yığın etkisi" de denir.^[2]

Örnek olarak MD5 algoritmasının verinin bir harfinin değişmesine olan tepkisi ürettiği özetin değişiminden:

MD5
= 4b09635281e148f0163b041e3582ec 74

Örneğin değişkenin baş harfini değiştirdiğimizde.

MD5
= 490678766826cc5a898d231a928464 aa

Yanıt: Şöyle başlayayım; Eğer hangi kelebeğin bu durumu meydana getirebileceğini bilseydik, bu kaotik bir etki sınıfına girmezdi. Kelebeği yakalar, "Aman, dur yapma!.." diyebilirdik. Kaos, nonlineer diferansiyel denklemlerin, belirli bir başlangıç koşulu için sonuçta yarattığı karmaşık etki. Olaylar için, doğada, şimdilik kaos'u bir kenara bırakacak olursak, iki tip davranış var. Ya, periyodik, yani birbirini tekrarlayan davranışlar (örnek, gezegenlerin güneş etrafındaki hareketi). Ya da, rastgele (Random) (örnek, radyoaktif bozunma). Kaos ise bambaşka bir şey (örnek, musluktan akan su). Kaosçular ikiye ayrılıyor. Bir grup, temel davranış biçiminin kaos olduğu, diğer ikisinin bunun özel bir hali olduğunu düşünmekte. Diğer grup ise, temel davranışın yariyodik ya da rastgele oluşu, kaos'un ise bu ikisinin karışımı olduğunu düşünmekte. Ben, ilk grubun görüşünü daha akla yakın buluyorum. Nedeni ise, periyodik ve rastgele davranışların ikisi de lineer diferansiyel denklemlerin çözümleri. Ama, doğa nonlineer'dir.^[3]

Kelebek Etkisi ve VoIP Teknolojisi

Kelebek etkisi bildiğiniz üzere Kaos teoremine dayanan bir deyim. Anlattığı ise bir kelebeğin kanat çırpışının kilometrelerce ötede bir fırtınaya sebep olabileceği üzerine.

Burada bahsettiğimiz Kelebek ise “VoIP” teknolojisi. 90'ların ortasında kanatlarını çırpmaya başlayan bu teknoloji bugünlerde sert rüzgarlar halinde esmeye başladı ve uzmanların görüşlerine göre 2008 ile 2010 yılları arasında ciddi bir fırtınaya dönüşecek.

Bu öyle bir fırtına ki köklü telekomünikasyon şirketlerinin stratejilerini değiştirmesine sebep oluyor. Bütün firmalar yaklaşan fırtınaya karşı önlemlerini alıyorlar. Belli ki bu fırtına bazı büyük firmaları yerinden söküp atacak kuvette. Bazı küçük ve orta büyüklüktekileri de abilerinin yanına taşıyacak.

Peki neye dayanarak diyeceksiniz. İşte size sebepleri;

Öncelikle klasik telekomünikasyon sistemleri ile VoIP çalışan sistemleri incelemek gerekli. Klasik yani TDM temelli sistemler büyük oranda bu amaca hizmet eden elektronik devrelerdir. Bu sistemlerin geliştirme maliyetleri yüksektir çünkü bu sistemlerin tasarlanması için çok sayıda nitelikli mühendislere ihtiyacınız vardır. Sistemin temeli inşâ edildikten sonra üzerinde radikal değişiklikler gerçekleştirmeniz hemen hemen imkansızdır çünkü bu tip değişiklikler çoğunlukla elektronik dizayn gerektirir. Bahsettiğimiz bu işlemlerin hepsi ciddi birer maliyet kalemidir. Tabii ki bu ürünlerin üretimi için ciddi bir üretim tesisi de gerekmektedir. Bütün bunların sonunda görevini yerine layığıyla getiren ama sahip olma ve işletme maliyetleri yüksek bir sisteme sahip olursunuz.

VoIP çalışan sistemler ise büyük oranda yazılım temellidir. Birçok amaç için üretilen PC tabanlı sistemler üzerinde çalışırlar. Geliştirme maliyeti TDM temelli santrallere göre düşüktür çünkü yerine getireceği fonksiyonlar yazılım tarafından karşılanır. Çoğunlukla elektronik dizayn gerektirmez. Daha yüksek kapasiteli işlemciler kullanıldığından birden fazla fonksiyonu yerine getirebilirler. Amaca özel değil genele hizmet eden donanımlar kullanıldığı için ilk sahip olma maliyeti ve işletme maliyeti TDM temelli sistemlere göre daha avantajlıdır. Üretimi için daha küçük bir üretim bandı yeterlidir.

Bu açıdan baktığınız zaman VoIP teknolojisinin yarattığı rahatsızlık gayet doğaldır. Çünkü VoIP bir değişimdir. İletişim sistemlerinin üretiminde, İş yapış şeklimizde ve hatta yaşayış şeklimizde. GSM teknolojisi hayatımızı nasıl değiştirdiyse VoIP de aynı şekilde değiştirecektir ve hatta değiştiriyor da.

Bilindiği gibi değişimi kabullenmenin çeşitli aşamaları var. Bunlar;

- Denge
- Hareketsizlik
- İnkar
- Kızgınlık
- Pazarlık
- Depresyon
- Test
- Kabullenme

Şu anda kullanıcılar ve üreticiler bu aşamalardan geçmekte. Kimileri daha ilk safhalardayken kimileri bu değişikliği kabullenmiş ve hatta bu değişiklikten faydalanabilmeleri için yollar arıyor yada uyguluyorlar.

Örneğin son günlerde birleşme haberi ile gündeme gelen Avaya'yı ele alalım. TDM temelli santrallerden gelen Avaya uzun süredir IP temelli sistemler ile müşterilerine hizmet vermekte ve bu alanda araştırma şirketleri tarafından Pazar lideri olarak gösterilmekte. Peki milyar dolar ciro yapan ve büyümesini devam ettiren bir şirket neden böyle bir birleşme gerçekleştireceğini duyursun?

Kimilerine göre bu ticari bir durum olarak yorumlanırken bazı çevreler bunu değişen piyasa şartlarına göre Avaya tarafından öngörülen bir düzenleme olarak yorumluyor.

Çünkü VoIP sebebiyle artık iletişim bir yazılım işi haline dönüştü ve hatta yazılım destekli servisler olma yolunda ilerliyor. Şirketlerin iletişim ile ilgili beklentileri değişiyor ve artık daha farklı alanlarda bu yazılımları kullanmak istiyorlar. İletişim sistemlerini artık süreçlerinin birer parçası haline getirmek istiyorlar. Avaya gibi bir şirket için bile böyle büyük bir şirketi bu ihtiyaçları karşılayacak ürünler veya servisler verecek hale getirmek ciddi bir maliyet demek.

Bu aşamada iki kuraldan bahsetmek istiyorum.

Bunlardan ilki Metcalfe kanunu. 3M şirketinin kurucusu olan Robert Metcalfe; “Bilgi ağlarının kullanılabilirliği yada faydası, kullanıcıların sayısının karesi ile doğru orantılıdır.” şeklinde ifade ettiği bir kanun ortaya koymuştur.

Diğeri ise “Disruption” kanunu. “Disruption” Türkçe'de aksama, kesilme anlamına geliyor. Bu kanuna göre; teknolojik sistemler Moore yasasının da gösterdiği şekilde üstel olarak gelişir. Bu gelişim ve değişim belirli bir yoğunluğa geldiği zaman ilgisiz gibi görünen başka sistemleri de etkiler.

Bu iki kanun aslında VoIP teknolojisinin bugünkü durumunu gayet iyi özetliyor. Genişbant İnternet erişimi ve kullanıcıların yaygınlaşması Skype gibi iletişim sistemlerinin önünü açtı. Yaygınlaşan ve talebi artan bu teknoloji ise artık belirli bir doygunluğa ulaştı ve şu anda başka sistemlerin gelişimini tetikliyor. Örneğin GSM telefonların üzerinde SIP desteği gelmeye başladı.

Artık Microsoft gibi büyük yazılım şirketleri bu alana girmeye başladılar. Mevcut şirketler değişen şartlara göre stratejilerini gözden geçiriyorlar. Açık kaynak yazılım üreten topluluklar bu alanda bir çok proje ürettiler ve üretiyorlar. Hatta açık kaynak VoIP yazılımları başka Açık Kaynak yazılımlarla entegre oldular. Bu durum servis konusunda tecrübeli daha ufak şirketleri bu alana çekiyor. Bu değişimin sebebi ise 90'ların ortasında kanatlarını çırpmaya başlayan VoIP kelebeği. ^[6]

Sinemada "Kelebek Etkisi"

Künye

Kelebek Etkisi (The Butterfly Effect), 2004 yılı ABD yapımı bir dram, bilim kurgu ve gerilim filmidir. Başrollerini Ashton Kutcher, Amy Smart, Eric Stoltz paylaşır.

Oyuncular

Ashton Kutcher - Evan Treborn
Amy Smart - Kayleigh Miller
Melora Walters - Andrea Treborn
Elden Henson - Lenny Kagan
William Lee Scott - Tommy Miller
John Patrick Amedori - Evan Treborn
Irene Gorovaia - Kayleigh Miller
Kevin G. Schmidt - Lenny Kagan
Jesse James - Tommy Miller
Logan Lerman - Evan Treborn
Sarah Widdows - Kayleigh Miller
Jake Kaese - Lenny Kagan
Cameron Bright - Tommy Miller
Eric Stoltz - George Miller
Kevin Durand - Carlos
Callum Keith Rennie - Jason Treborn
Lorena Gale - Bayan Boswell
Ethan Suplee - Thumper
Tara Wilson - Heidi
Jesse Hutch - Spencer
Sarah Gruber - Bystander ^[7]

Filmin Konusu

Evan Treborn zaman mevhumunu yitirmiştir. Hayatının erken evrelerinden itibaren, önemli anları bir unutkanlık kara deliğinde yok olmuş, çocukluğu hatırlayamadığı bir dizi dehşet verici olayla gölgelenmiştir. Geriye kalansa hafızasının hayaleti ve çevresindeki kırık hayatlardır: Çocukluk arkadaşları Kayleigh, Lenny ve Tommy'nin hayatları.

Çocukluğu boyunca, Evan kendisini günlük tutmaya ve günlük hayatındaki ayrıntıları yazmaya teşvik eden bir psikologun gözetimindedir. Artık üniversitede olan Evan, günlüklerinden birini okurken, kendini birden bire ve açıklanamayan bir nedenle geçmişe dönmüş bulur. Anlar ki yatağının altında sakladığı defterler geçmişe dönüp, hatıralarını anımsayabilmesi için birer araçtırlar. Ama bu anımsayışlar, arkadaşlarının, özellikle de yetişkinliğinde de sevmeye devam ettiği çocukluk aşkı Kayleigh'nin yıkılmış hayatından sorumluluk duymasına neden olur.

Çocukken elinden gelmeyen şeyleri yapmaya karar veren Evan, kasıtlı olarak geçmişe yolculuklar yapar. Bugünkü aklıyla çocukluk bedenine girerek, tarihi yeniden yazmaya, ve arkadaşlarını ve sevdiklerini bu travmatik deneyimlerden kurtarmaya çabalar.

Ama Evan, ne zaman geçmişte bir şey değiştirse, yaptıklarının bugünde beklenmedik ve feci sonuçlar doğurduğunu görür. Ne kadar çaba gösterirse göstersin, kendisi ile Kayleigh'in "sonsuza dek mutlu" yaşadıkları bir gerçeklik dünyası yaratamayacak gibi gözükmektedir.^[8]

Kaynaklar

[1] www.goncaguzel.com/kelebek_etkisi.aspx
[2] tr.wikipedia.org/wiki/Kelebek_Etkisi_(matematik)
[3] www.hackhell.com/kriptoloji/188495-kelebek-etkisi-nedir.html
[4] site.mynet.com/astrogundem/g28.htm
[5] www.misafir.net/bunlari-biliyor-musunuz/89970-kelebek-etkisi-ve-kaos-teorisi.html
[7] tr.wikipedia.org/wiki/Kelebek_Etkisi_(film)
[6] www.turk.internet.com/haber/yazigoster.php3?yaziid=18471
[8] www.film.com.tr/film.cfm?fid=932